La geometría y la cuarta dimensión (4D)

Fabián Romo Proaño
pegazi51@netscape.net

A fines del Siglo XIX, cuando Federico Gauss, príncipe de las Matemáticas y su discípulo G. Riemann, ya habían dado a luz el concepto de universos de más dimensiones, C. Hinton desarrolló formas de mentalizar la 4D, pero sin verla, pues nuestra percepción de seres 3D nos limita; sin embargo, sus métodos nos dijeron que la 4D, a través de la geometría, es mas fácil de lo que pensamos Rogamos seguir texto y gráficos simultáneamente.

CÓMO ARMAR UN CUBO

En la figura F C3D-1, se ve un cubo desarmado en 6 cuadrados. Si existieran seres de 2 dimensiones (2D), en su universo plano ellos verían esos cuadrados de perfil. Si nosotros doblamos dos lados hacia arriba, como se indica en F C3D-2, para ellos habrán desaparecido de su plano y si doblamos los otros lados, formaremos el cubo completo en F C3D-3, pero para ellos, en su mundo solo quedará el cuadrado de la base, pues el resto subió a la 3D. Un ser que en F C3D-1 caminaba por el Cubo desarmado, podía salir a 'terreno abierto' por cualquier borde, pero luego de armar el Cubo, uniendo entre sí ABSOLUTAMENTE TODAS las aristas, si el mismo ser cruza cualquiera de ellas, siempre pasará a otra cara interna del Cubo y ya nunca podrá salir, es decir será su cárcel en la 3D.

PROYECCIONES EN MUNDOS DE MENOS DIMENSIONES

En la F E1, nuestro amigo alumbra un Cubo 3D y la sombra de las aristas dibuja en un plano un cuadrado dentro de otro cuadrado, unidos por los vértices que es la imagen que verían los seres 2D si existieran, es decir, basándonos en figuras geométricas y conceptos de un universo 2D, podemos ver los efectos de nuestro universo 3D en su plano y de igual manera, es posible proyectar un Hipercubo (4D) a nuestro mundo y también mentalizar como podríamos armarlo a partir de sus componentes, que son Cubos 3D, tal como lo veremos a continuación.

COMO DIBUJAR UN HIPERCUBO EN LA 3D

De acuerdo a la F CH-1, al mover un punto se genera una línea y al mover una línea en forma perpendicular a su dirección, se forma un cuadrado F CH-2. Los lados del cuadrado son perpendiculares entre sí, pero se los dibuja en perspectiva.

Al mover el cuadrado en forma perpendicular a sus dos lados, se genera un Cubo F CH-3. En cada vértice, el tercer lado es perpendicular a los dos originales y se lo dibuja en perspectiva. Cada arista del cuadrado original genera otro cuadrado, que será una cara del Cubo, es decir se forman 4 nuevos cuadrados. Si a los 4 sumamos el cuadrado original y el mismo en su posición final, tendremos las 6 caras del Cubo.

Al mover el Cubo en una dirección 'perpendicular a sus tres lados', se genera un Hipercubo (Cubo 4D) F CH-5. El 'cuarto' lado en cada vértice es perpendicular a los 3 originales y también se dibuja en perspectiva. Cada una de las 6 caras del Cubo original, genera un nuevo Cubo que será parte del Hipercubo, es decir, se forman 6 nuevos cubos. (Ej: Cara azul en F CH-5) Si a esos 6 sumamos el Cubo original y el mismo en su posición final, tendremos que un Hipercubo esta formado por 8 Cubos 3D.

Realmente, el dibujo es una proyección del Hipercubo en una superficie 2D.

La figura F CH-4, nos muestra como los vértices y las caras de un Cubo, empiezan a dibujar los nuevos 6 cubos. Se puede analizar el cuadrado azul y su proyección hasta llegar a formar el Hipercubo en F CH-5.

UN TESSERACT

Otra forma de representar un Hipercubo consta en la figura F 3D, pues al igual que un Cubo se desarma en sus 6 cuadrados, un Hipercubo se desarma en sus 8 cubos. Si para armar el Cubo uníamos TODAS las aristas, SIN DEJAR NI UNA SOLA SUELTA, para armar el Hipercubo debemos unir TODAS las caras, SIN DEJAR NI UNA SOLA SUELTA. El ejercicio requiere imaginar la posibilidad geométrica, de que las caras se van uniendo en la Cuarta Dimensión, hasta desaparecer. Al unir entre si las caras con el número 1, haciéndolas girar en la arista común, TODAS desaparecen de nuestra vista. De igual manera, las caras 2 desaparecen al unirlas entre si.

Luego unimos entre si las caras 3 y las 4 y también desaparecen. Finalmente, unimos las caras 5 superior e inferior y con eso todas las caras externas del Hipercubo desaparecen de nuestro mundo y se van a la 4D...

Puesto que TODAS las caras se juntaron, un ser que viviera dentro de uno de los cubos del Hipercubo, jamas podrá 'salir', puesto que al cruzar una cara, SIEMPRE entrará en otro Cubo.

Este universo que sembraron F. Gauss y G. Riemann, luego se vio que talvez podía estar muy cerca de nosotros, quizás a pocos centímetros, tal como veremos en nuestra próxima entrega...

Bibliografía: Internet, The Elegant Universe de Brian Green, Hiperspace de Michio Kaku, The Eleventh Dimension de Richard Morris.