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 ¿El
mundo de los infinitos?
Fabián Romo Proaño
quistar000@yahoo.com
ANTECEDENTES
Nuestra última entrega fue gratamente comentada por algunos
de nuestros lectores, por lo que agradecemos el apoyo a este
espacio dedicado a la divulgación de temas de carácter
científico y matemático. Estas expresiones nos
impulsan a aceptar nuevos desafíos, con el fin de exponer
conceptos como el que ponemos a consideración en esta
oportunidad, que a pesar de su nombre un tanto misterioso, creemos
que no se requiere ningún entrenamiento especial para
comprenderlo un poquito más, pero sabemos que será
de mucha utilidad para nuestros lectores, para comprender un
poquito más el universo en que vivimos, pues podremos
hablar del infinito con más confianza.
De paso, estimamos oportuno
mencionar que en el ámbito mundial, el desarrollo de los
pueblos se mide por el nivel de desarrollo de los estudiantes
de primeros años en matemática, área de
la ciencia que se entiende tan importante como el saber leer
y escribir, por eso entre otros aspectos, en esta oportunidad
les invitamos a que nos acompañen a viajar al infinito,
pero no a ese universo que nos cubre y maravilla todas las noches,
ahora viajaremos a otro infinito, uno que vive todos los días
con nosotros y a lo mejor descubramos que no es tan misterioso
y que probablemente no es tan grande como para no poder comprenderlo
un poquito más.
EN EL INFINITO, UNA PARTE
ES IGUAL AL TODO
Al hablar de infinito, generalmente pensamos que debe ser algo
muy grande y probablemente nunca nos hemos hecho alguna otra
pregunta relacionada con él, por lo que para darnos una
respuesta inicial a esta incógnita, vamos a recurrir a
la figura INFINITOS, en la cual constan 3 conjuntos de cartas
identificados con las letras A, B y C.
Supongamos que en el conjunto A tenemos una cantidad infinita
de cartas numeradas con todos los números enteros, uno
en cada carta, es decir allí están todos los números
pares y todos los impares: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... etc.
Ahora supongamos que a cada número lo multiplicamos por
2 y el resultado lo escribimos en el reverso de cada carta y
llamamos B a este conjunto. (En el reverso de 1 esta 2, en el
de 2 esta 4, en el de 3 esta 6,... etc. Es decir, en B, solo
están números pares, porque son el resultado de
multiplicar todos los números de la otra cara por 2. Como
resultado tenemos que en una cantidad infinita de cartas, mientras
en la una cara entran todos los números enteros, pares
e impares, en la otra cara solo entran la mitad de ellos, los
pares, y los dos conjuntos ocupan la misma cantidad de cartas.
Es decir una parte de las cartas (pares) ocupa la misma cantidad
de cartas que las pares e impares, es decir una parte (pares)
es igual al todo (pares e impares). Es como si media (0,5) naranja
fuese igual a una (1) naranja..., "en el infinito si es
posible".
¿AUMENTA EL INFINITO
SI LE SUMAMOS UN VALOR?
Ahora, si a cada número del conjunto A le dividimos para
2, obtendremos el conjunto C. Este nuevo conjunto, tiene todos
los números enteros pares e impares, igual que el conjunto
A original y además tiene fracciones entre cada uno de
ellos: 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5,... etc., y todos caben en
la misma cantidad de cartas, es decir "es como si hubiéramos
añadido" cartas adicionales para que entren las fracciones,
pero en realidad no añadimos nada, solo dividimos matemáticamente,
lo que significa que si hubiéramos añadido esas
cartas con las fracciones, la cantidad total de cartas, infinito,
tampoco hubiera cambiado y lo mismo sucede si multiplicamos o
restamos un valor al infinito.
En los dos ejercicios previos, a pesar de lo especial de los
resultados, los conjuntos infinitos A, B y C son del mismo tamaño.
¿HAY INFINITOS DE
DIFERENTES TAMAÑOS?
En el ejemplo anterior vimos que todos los números enteros,
solo los pares o los impares o todas las fracciones, no importa
como se combinen, siempre son conjuntos de números del
mismo tamaño, pero hay otros números que no están
en ninguno de los grupos mencionados previamente, por ejemplo:
pi (F C) ese mágico número que aparece en el cálculo
de la circunferencia y que no se lo puede representar por una
fracción exacta, e, ese otro número mágico
que lo asociamos a los logaritmos, la raíz cuadrada de
2, etc. (F. Pie) Si insertamos estos números en los conjuntos
mencionados previamente, entonces si estaremos definiendo otro
infinito más grande que los anteriores, pues estos nuevos
números no los podemos obtener a partir de los originales
por ningún mecanismo, es decir, si hay infinitos de diferentes
tamaños.
Como curiosidad, dejamos temas
infinitos que trataremos la próxima entrega: (1) ¿Dos
líneas de diferente tamaño, tienen la misma cantidad
de puntos? (2) ¿Es posible que un chimpancé escriba
el Quijote?
Fuentes: Internet.
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